02_aerodynamics.md

空気力の基礎

ロケットが大気中を飛行する際には、空気から力を受けます。ここでは空気力学の基礎を学びます。

空気抵抗（抗力）

物体が流体中を移動するとき、進行方向と反対向きに力を受けます。これを**抗力（Drag）**と呼びます。

抗力の式

$$ F_D = \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A $$

• $F_D$: 抗力 [N]
• $\rho$: 空気密度 [kg/m³]（海面付近で約1.225 kg/m³）
• $v$: 速度 [m/s]
• $C_D$: 抗力係数 [-]（形状による無次元数）
• $A$: 代表面積 [m²]（通常は断面積）

抗力の特徴

1. 速度の2乗に比例: 速度が2倍になると抗力は4倍
2. 進行方向と逆向き: 常に運動を妨げる方向
3. 形状依存: 流線型は抗力が小さい

抗力係数の例

形状	$C_D$
球	0.47
円柱（垂直）	1.2
流線型	0.04-0.2
ロケット	0.3-0.8

揚力

物体の形状や姿勢によって、進行方向に垂直な力が発生します。これを**揚力（Lift）**と呼びます。

揚力の式

$$ F_L = \frac{1}{2} \rho v^2 C_L A $$

• $F_L$: 揚力 [N]
• $C_L$: 揚力係数 [-]

ロケットと揚力

• 軸対称のロケットが軸方向に飛行する場合、揚力はほぼゼロ
• 迎角（進行方向と機軸のずれ）があると揚力が発生
• 今回の教材では主に抗力のみを考慮

動圧

空気力の式に共通して現れる $\frac{1}{2}\rho v^2$ を動圧と呼びます。

$$ q = \frac{1}{2} \rho v^2 $$

動圧は「単位面積あたりの運動エネルギー」に相当します。

ベクトルとしての抗力

3次元では、抗力は速度ベクトルの反対方向を向きます：

$$ \mathbf{F}_D = -\frac{1}{2} \rho |\mathbf{v}|^2 C_D A \cdot \hat{\mathbf{v}} $$

ここで $\hat{\mathbf{v}}$ は速度の単位ベクトル：

$$ \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} $$

Pythonでの実装

import numpy as np

def calc_drag(velocity, rho=1.225, Cd=0.5, A=0.01):
    """
    抗力ベクトルを計算

    Parameters
    ----------
    velocity : np.ndarray
        速度ベクトル [m/s]
    rho : float
        空気密度 [kg/m³]
    Cd : float
        抗力係数
    A : float
        代表面積 [m²]

    Returns
    -------
    np.ndarray
        抗力ベクトル [N]
    """
    v_mag = np.linalg.norm(velocity)
    if v_mag < 1e-10:
        return np.zeros_like(velocity)

    v_unit = velocity / v_mag
    drag_mag = 0.5 * rho * v_mag**2 * Cd * A

    return -drag_mag * v_unit

1次元での抗力

1次元（鉛直方向のみ）の場合、速度の符号を考慮：

def calc_drag_1d(v, rho=1.225, Cd=0.5, A=0.01):
    """1次元の抗力"""
    drag_mag = 0.5 * rho * v**2 * Cd * A
    return -np.sign(v) * drag_mag

• 上昇時（$v > 0$）: 抗力は負（下向き）
• 下降時（$v < 0$）: 抗力は正（上向き）

終端速度

落下中、重力と抗力が釣り合うと一定速度になります。これを終端速度と呼びます。

$$ mg = \frac{1}{2} \rho v_t^2 C_D A $$

終端速度： $$ v_t = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_D A}} $$

実行してみよう

scripts/02_physics/02_aerodynamics_example.py を実行してください：

python scripts/02_physics/02_aerodynamics_example.py

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