prerequisites.md

Kursplanen för grundskolan lgr11 säger att i åk 7-9 behandlas "[l]ikformig sannolikhet och metoder för att beräkna sannolikheten i vardagliga situationer" samt "[h]ur kombinatoriska principer kan användas i enkla vardagliga och matematiska problem". Så sannolikhetsteorin är inte ny för er. Speciellt inte då första kursen i gymnasiet gy11 även ska behandla "[g]ranskning av hur statistiska metoder och resultat används i samhället och inom vetenskap" samt "[b]egreppen beroende och oberoende händelser samt metoder för beräkning av sannolikheter vid slumpförsök i flera steg med exempel från spel och risk- och säkerhetsbedömningar". Det som kan skilja är notationen, men den skiljer från kurs till kurs och bok till bok på universitetet också --- så det får man alltid leva med.

Detta finns även med i den äldre kursplanen för grundskolan: "kunna använda begreppet sannolikhet i enkla slumpsituationer" lpo94, åk 9.

Vi finner ytterligare i lgr11: i åk 1-3 ska man behandla "[n]aturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp", d.v.s.
heltalsdivision med kvot och rest. För detta behövs när man senare i åk 1-3 ska behandla "[d]el av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal". Så att därifrån ta steget till att räkna med enbart restdelarna vid divisionen (d.v.s. i cirkeln) är inte för mycket begärt på en kurs på högskolenivå. (Från 2011 ska detta även repeteras på gymnasiet: "[e]genskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet" gy11.)

För att förstå varje detalj i ElGamal, ja, då behöver du ha läst matematik på högskolenivå. Men ni behöver inte känna till att om $p$ inte är ett primtal så kommer vissa tal i $\mathbb{Z}_p^*$ att sakna multiplikativ invers, vilket gör att det inte går att avkryptera. För ni behöver inte implementera detta och definitivt inte skapa något nytt liknande system. Poängen är att ni ska känna till att ElGamal inte är "ett magiskt system som bara fungerar". Ni ska ha en idé om hur det fungerar, ni ska veta att det baseras på att Eve inte kan lösa diskreta logaritmproblemet --- så att när vi får en kvantdator som löser problemet, då vet ni att ElGamal är kört; eller när det kommer en ny superdator så vet ni att den har en möjlighet att gissa rätt nyckel om ni inte har en tillräckligt stor nyckelrymd. Ni ska ha en uppfattning om att säkerheten hos ElGamal och dylika system inte baseras på perfekt sekretess.

Samma sak med zero-knowledge proofs of knowledge. Det krävs mycket matematik för att förstå varför systemet är konstruerat som det är och för att bevisa att ett protokoll faktiskt är ett zero-knowledge proof of knowledge. Men ni behöver inte göra det. Ni behöver bara ha tillräcklig med förståelse för vad systemet kan åstadkomma så att när någon idiot i framtiden försöker att lura er att ni behöver visa ert personnummer och legitimation för att visa att ni är över 18, så kan ni säga "det är fel" och förklara att det finns något som heter anonymous credentials som bygger på zero-knowledge proofs of knowlege där ni inte behöver avslöja en endaste bit mer än att ni faktiskt är över 18 år.

Andra matematiska förkunskaper som ni förväntas kunna är "[i]nnebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer" lgr11, åk 7-9 samt "[f]unktioner och räta linjens ekvation" lgr11, åk 7-9. Och från gymnasiet: "[b]egreppen funktion, definitions- och värdemängd samt egenskaper hos linjära funktioner samt potens- och exponentialfunktioner" gy11 samt "[g]eneralisering av aritmetikens räknelagar till att hantera algebraiska uttryck" gy11. Potenser som nämndes tidigare ska ni även ha koll på sedan grundskolan: "[p]otensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av prefix" lgr11, åk 7-9. Potenser är relaterat till logaritmer, logaritmlagarna behandlas i matematik 2 på gymnasiet. Att lära sig att $2^{\log x} = x$ under kursens gång är inte heller oresonligt. Men ska man vara strikt så behöver ni inte ens det. Enda anledningen till att ni behöver känna till detaljer om logatitmen är för att förstå varför entropin för olika variabler går att addera (utan logaritmerna hade vi måstat multiplicera, vilket inte är lika intuitivt och enheten hade då inte varit bitar).

Även i Matematik A tog man upp funktioner: "kunna tolka och hantera algebraiska uttryck, formler och funktioner som krävs för problemlösning i vardagslivet och i studieinriktningens övriga ämnen" lpf94, Matematik A; samt potenser: "kunna ställa upp och tolka linjära ekvationer och enkla potensekvationer samt lösa dem med för problemsituationen lämplig metod och med lämpliga hjälpmedel" lpf94, Matematik A. På samma sätt täcks logaritmer senare: "kunna tolka och använda logaritmer och potenser med reella exponenter samt kunna tillämpa dessa vid problemlösning" lpf94, Matematik C. Men det är fortfarande rimliga förväntningar att ni lär er vad en logaritm är under denna kurs.

Det enda som är kvar som inte tagits upp i grundskolan eller gymnasiet är mängder. Vi behöver inga djupare resultat om mängder, utan vi behöver endast veta

- att $M = \{x, y, \ldots\}$ är en mängd med elementen $x$ och $y$,
- att vi säger $x \in M$ och $y \in M$ för att säga att $x$ 
  respektive $y$ är ett element i mängden $M$,
- att $\{x\} \cup \{y\} = \{x, y\}$ och $\{x, y\} \cap \{y, z\} 
  = \{y\}$.

Vilket också är helt resonligt att ni lär er på denna kurs.

Att använda sigmatecknet för att beteckna en summa är enbart en form av notation, den kan närmast jämföras med att skriva en for-iteration (vilket ni har som förkunskap). Summatecknet benämns inte heller i någon av kursplanerna lgr11, gy11, lpo94, lpf94. Det närmaste man finner där är i Matematik C: "kunna använda matematiska modeller av olika slag, däribland även sådana som bygger på summan av en geometrisk talföljd" lpf94, Matematik C. Så sannolikt introduceras summanotationen där för att den inte har behövts tidigare och att det avsnittet skulle bli helt oumbärligt utan en kortare notation, så den notationen är inte något speciellt för Matematik C. Geometriska talföljder, som är specifikt för Matematik C, är dock en speciell typ av summa som vi inte är intresserade av, detsamma gäller aritmetiska talföljder (som brukar behandlas strax innan de geometriska).

Matematik D och E innehåller ingenting om sannolikhetslära gy11, Matematik D och E.

Alla dessa saker som ni behöver tog jag upp under föreläsningens gång.
Och jag understryker ytterligare en gång att ni bör ställa frågor under föreläsningen; även om det bara är att jag ska repetera vad jag sa på föregående slide, att jag ska påminna om definitionen av en logaritm trots att det bara var fem minuter sedan jag gick igenom det. Ett tips är att ni antecknar under föreläsningens gång. Sedan får ni avsätta tid för att lära er detta, det är inte särskilt mycket och det är en del av kursen. Ni behöver inte läsa extra kurser i matematik, jag har tagit upp allt ni behöver. (Förutsatt att ni faktiskt minns vad ni lärde er i grund- och gymnasieskolan, annars bör ni repetera det.) Behöver ni mer material än enbart föreläsningen så är det bara att fråga: för sannolikhetsteori rekommenderas Sannolikhet, avsnitt 1--4, den tar upp mer än vad vi behöver --- även om mängder.