Repository zum Mathematischen Seminar 2026

Thema des Seminars: Algebra und Analysis

Die Entdeckung der Infinitesimalrechnung durch Newton und Leibniz führte zu einer Umwälzung der Anwendungen der Mathematik in den Naturwissenschaften. Das Konzept des Grenzwerts und darauf aufbauend der Ableitung erlaubt, Funktionen im kleinen zu untersuchen. Die praktische Anwendung der Differential- und Integralrechnung verwendet aber fast nie den Grenzwertbegriff. Vielmehr kommt eine Reihe von algebraischen Regeln zur Anwendung, mit denen Ableitungen und Stammfunktionen von Polynomen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, trigonometrischen und vielen weiteren Funktionen im Wesentlichen durch Manipulation von Symbolen gefunden werden können. Diese Vorgehensweise sieht eher nach Algebra aus. Dann müssten aber viele der Konstruktionen der Analysis auch in rein algebraischem Kontext durchführbar sein und Information über die zugehörigen algebraischen Strukturen liefern. Andererseits müssten algebraische Konstruktionen zusätzliche Werkzeuge für die Analysis zur Verfügung stellen.

Zum Beispiel kann die Lösung von Differentialgleichungssystemen mit Hilfe der Normalform einer Matrix vereinfacht werden. Andererseits kann man die Ableitung als einen linearen Operator betrachten, der besondere Eigenschaften bei der Anwendung auf Produkte hat. Solche sogenannten Derivationen finde man zum Beispiel auch in der Algebra.

Die stationären Punkte einer Funktion f : R^n -> R, also Punkte mit verschwindendem Gradienten, können durch den sogenannten Index, eine algebraisch definierte ganze Zahl, die aus der Matrix der zweiten Ableitung berechnet werden kann, vollständig charakterisiert werden. Für eine beliebige Mannigfaltigkeit als Definitionsbereich von f lässt sogar die Topologie der Mannigfaltigkeit aus den Indizes der Funktionen rekonstruieren.

Das Mathematische Seminar "Algebra und Analysis" untersucht die vielfältigen Synergien zwischen Algebra und Analysis.