smallest common multiple

找出数字范围的最小公倍数 (Smallest Common Multiple)

问题解释

• 这个 function 接收一个数组参数 arr，其中包含两个数字元素。返回这两个数字之间所有数的最小公倍数
• 如果 arr 是 [1, 5]，那么返回值应为 60
• 需要注意的是，这个 arr 是没有排序的，因此对于 [5, 1]，也应该返回 60

解题思路

• 先回顾一些定义。如果存在一个数 x，可以被 a 和 b 分别整除，且 x 大于等于 a 和 b，则称 x 为 a 和 b 的公倍数。a 和 b 的公倍数有无限多个，其中最小的就叫最小公倍数
• 经常与最小公倍数一起提及的还有最大公约数，也叫最大公因数。指的是某几个整数共有约数中最大的一个。约数的定义在上一篇文章中提到过，也叫因数
• 这道题目的关键在于最小公倍数的算法。在基本的解法中我们先用循环来解决
• 先要明白一点，最小公倍数不会超过两个数的乘积。这个结论很重要，因为我们可以通过这个来确定循环的边界
• 后面我们还会谈到计算最小公倍数的其他算法。基本解法的思路并不复杂，可以根据上面的提示先试着自己写一写

基本解法 - 遍历

思路提示

• 由于题目中要判断范围内多个数字的最小公倍数，最简单且暴力的方法就是两两地进行判断
• 既然需要多次判断，那么我们首先需要封装一个判断函数，用于得出两个数字的最小公倍数。当然，写成递归也是没问题的。或者，用数组的 reduce 方法也行
• 有一点需要注意。记"求最小公倍数"为 LCM。对于求三个数字 a、b 和 c 的最小公倍数 LCM(a, b, c)，则相当于 LCM(LCM(a, b), c)。由于 LCM 也存在结合律，因此也相当于 LCM(a, LCM(b, c))。所以，先求哪一组都是可以的

代码 - for 循环

function smallestCommons(arr) {
    var smaller = Math.min(arr[0], arr[1]);
    var greater = Math.max(arr[0], arr[1]);
    var numArr = [];
    // 设置用于保存结果的初始值
    var result = smaller * (smaller + 1);
    
    // 根据参数生成一个范围内所有数字的数组
    for (var i = smaller; i <= greater; i++) {
        numArr.push(i);
    }
    
    // 用于获取两个数最小公倍数的方法
    // 其中参数 left 为较小数，right 为较大数
    function getSCM(left, right) {
        // 边界判断
        if (left === 0 || right === 0) {
            return 0;
        }
        if (left === right) {
            return left;
        }
        
        // 设置 scm 初始值为较大数
        var scm = right;
        
        // 循环，用 scm % left 是否为 0 来判断是不是最小公倍数
        while (scm <= right * left) {
            if (scm % left === 0) {
                return scm;
            }
            scm += right;
        }
        
        // 外面可以不 return。因为理论上，当 scm 的值为 right * left 的时候，scm % left 是肯定为 0 的
    }
    
    for (var i = 2; i < numArr.length; i++) {
        // 显然，要么 result 和 numArr[i] 相等，要么 result 大于 numArr[i]
        result = getSCM(numArr[i], result);
    }
    
    return result;
}

解释

• 首先，根据传入的数组参数，取出较大值和较小值，方便后续操作
• 生成数组那里应该不用多说。至于初始值的设置，原因在于，n 与 n + 1 的最小公倍数一定是 n * (n + 1)。这样，我们只要把这个结果带到第三个数 (索引为 2) 继续计算就好了
• 至于求两个数最小公倍数的方法，比如 n 和 m，我们只需要去测试 n、2n、3n、4n……是否能被 m 整除。当然，试到 m * n 就够了，因为这个数肯定能被 m 整除
• 当然，n 和 m 都不能为 0。这个要进行边界判断
• 如果还有细节想不明白的，再看一下代码中的注释吧

代码 - reduce

• 之前说过，这里也可以用 reduce 去实现。因为本身就是一个迭代的过程。getSCM 和上面的一样，这里就不重复了

function smallestCommons(arr) {
    var smaller = Math.min(arr[0], arr[1]);
    var greater = Math.max(arr[0], arr[1]);
    var numArr = [];
    
    for (var i = smaller; i <= greater; i++) {
        numArr.push(i);
    }
    
    function getSCM(left, right) {
        // ...
    }
    
    // 初始值设为 1 就好，因为任何数与 1 的最小公倍数都是这个数本身
    return numArr.reduce(function(previous, next) {
        return getSCM(previous, next)
    }, 1);
}

优化 - 数学方法

思路提示

• 有一种计算最小公倍数的数学方法，但要先计算出最大公约数。详情可以参考最小公倍数的维基百科词条
• 计算最大公约数，有一种比较快捷的方法叫辗转相除法
• 简单举个例子，对于数字 a 和 b，若要求他们的最大公约数，则将较大数不断减去较小数，直到所得的差小于较小数。重复此步骤，直到差为 0，此时较小数即为最大公约数，伪代码如下：

while(b !== 0)
    temp = b
    b = a % b
    a = temp
return a

• 有朋友可能觉得这里需要处理特殊值。但由于任何数都可以整除 0，因此 0 与任何数的最大公约数都为那个数本身。所以，不需要进行特殊处理
• 根据维基百科，任何两个整数的最大公约数与最小公倍数存在如下关系：

LCM(a, b) = |a * b| / GCD(a, b)

• 其中，LCM 为最小公倍数，GCD 为最大公约数。同样，这个可以推论到 n 个数的情况，即：

LCM(A1, A2, A3, ...) = ∏(An) / GCD(A1, A2, A3, ...)

代码

function smallestCommons(arr) {
    if (arr.length !== 2) return;

    var smaller = Math.min.apply(null, arr);
    var greater = Math.max.apply(null, arr);
    var result = 1;
    
    function getGCD(a, b) {
        while (b !== 0) {
            var temp = b;
            b = a % b;
            a = temp;
        }
        return a;
    }
    
    while (smaller <= greater) {
        result = smaller * result / getGCD(smaller, result);
        smaller++;
    }
    
    return result;
}

解释

• 要解释的不多了，如果看不明白，请再回去看一下上面的解释以及维基百科链接
• 这里用到了 .apply，原因在于 Math.min 和 Math.max 接受的参数是多个数字。如果我们想给它传入数组参数，就需要用 apply，因为 apply 的第二个参数就是数组。熟悉 ES6 的朋友也可以写成 Math.min(...arr)，其中 ... 是 Spread Operator